Machine Learning概述 ​

什么是机器学习？ ​

计算机程序从经验E中学习，解决某一任务T，进行某一性能P，通过P测定在T上的表现因经验E而提高。

例如：对于跳棋游戏，经验E就是程序与自己下几万次跳棋；任务T就是玩跳棋；性能度量P就是与新对手玩跳棋时赢的概率。

Supervised Learning监督学习 ​

监督学习：给算法一个数据集，其中包含了正确答案，算法的目的是给出更多的正确答案。

Regression回归问题 ​

上述是一个房价预测的例子，使用直线和二次函数曲线拟合数据。这实际上是一个回归问题——目的是为了预测连续的数值输出。

Classification分类问题 ​

上述是预测肿瘤良性与否的例子，这里只给出了一个特征值，这实际上是一个分类问题——目的为了预测离散的数值输出。

上述是给出了多个特征值的例子，即病人年龄和肿瘤大小。某些机器学习算法的目的是为了解决无穷多个特征的数据集。

Unsupervised Learning无监督学习 ​

对于监督学习中的每一个样本，算法都被告知了什么是正确答案，但是对于无监督性学习，只给算法一个数据集，但是不给数据集的正确答案，由算法自行分类。

聚类算法 ​

• 谷歌新闻 谷歌新闻会收集成千上万条新闻，然后自动地分簇，有关同一主题的新闻集合在一起。
• 大型计算机集群
• 基因组学 给定一组不同个体，根据DNA检测特定基因的表达程度。
• 市场细分 市场通过对用户进行分类确定目标用户。
• 天文数据分析
• 鸡尾酒会算法——分离交叉音源判断

Linear Regression with One Variable单变量线性回归 ​

Model Respresentation模型描述 ​

监督学习算法是如何工作的？

上述流程是监督学习算法的工作方式，我们需要将训练集的一些数值比如房屋大小喂给学习算法，然后输出一个函数，而这个函数用$h$表示。$h$表示hypothesis假设，是一个函数，输入是训练集一些数值比如房子大小，输出一个预估的房子价格，$h$实际上时从输入到输出的映射。那我们应该如何表达$h$？

一种可能的表达方式为：$h_{\theta}(x)=\theta_{0}+\theta_{1}*x$，因为只含有一个特征/输入变量，因此这样的问题叫作单变量线性回归问题。

线性回归（Linear regression） 的假设函数h，其实就是构建了从x到y的映射：

$h_{\theta}(x)=\theta_{0}+\theta_{1}*x$

Cost Function代价函数 ​

在线性回归中我们举个预测房价的例子，现在我们有这么个训练集和假设函数：

其中$m$代表着训练样本的数量，$\theta_{i}$代表模型参数。那么我们应该如何为我们的模型选择合适的两个参数$\theta_{0}$和$\theta_{1}$呢？

上图是选择不同模型参数的例子。我们需要做的就是选择合适的$\theta_0$和$\theta_1$来让假设函数$h$表示的直线尽量地与下图这些数据点进行很好的拟合——使得$h_{\theta}(x)$尽可能接近训练集样本$(x,y)$。这个事实上在Machine Learning中标准的定义就是在线性回归中要解决的最小化问题。

即使Cost Function代价函数$J(\theta_0,\theta_1)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x)-y)^2$最小，这个代价函数也被称为Squared Error Function平方误差函数或者有时叫Squared Error Cost Function平方误差代价函数。

我们之所以要求出 误差的平方和，是因为误差平方代价函数，对于大多数问题，特别是回归问题，都是一个合理的选择，还有其他的代价函数也能很好地发挥作用，但是平方误差代价函数可能是解决回归问题最常用的手段。

几个直观的例子 ​

让我们来简化一下上述的代价函数：

然后我们来取一下不同$\theta$的假设函数和代价函数的图像：

我们还可以利用等高线图或者等高图像来直观感受。

我们不希望编个程序把这些点画出来，然后人工的方法来读出这些点的数值，这很明显不是一个好办法。我们会遇到更复杂、更高维度、更多参数的情况，而这些情况是很难画出图的，因此更无法将其可视化，因此我们真正需要的是编写程序来找出这些最小化代价函数的$\theta_0$和$\theta_1$的值。有没有一种算法能够自动找出能使代价函数$J$最小化的$\theta_0$和$\theta_1$的值呢？

Gradient Descent梯度下降 ​

Gradient Descent梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数 $J(\theta_0, \theta_1)$ 的最小值。梯度下降是很常用的算法，它不仅被用在线性回归上，还被广泛应用于机器学习的众多领域。

梯度下降背后的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合 $(\theta_0, \theta_1, \ldots, \theta_n)$ ，计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到到 到一个局部最小值，因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确 定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值，选择不同的初始参数组合，可能会找到不同的局部最小值。

想象一下你正站立在山的这一点上，站立在你想象的公园这座红色山上，在梯度下降算法中，我们要做的就是旋转 360 度，看看我们的周围，并问自己要在某个方向上，用小碎步尽快下山。这些小碎步需要朝什么方向？如果我们站在山坡上的这一点，你看一下周围，你会发现最佳的下山方向，你再看看周围，然后再一次想想，我应该从什么方向迈着小碎步下山？然后你按照自己的判断又迈出一步，重复上面的步骤，从这个新的点，你环顾四周，并决定从什么方向将会最快下山，然后又迈进了一小步，并依此类推，直到你接近局部最低点的位置。

起始点的不同会带来完全不同的局部最优解。

数学定义 ​

其中的 $\alpha$ 是learning rate学习率。它用来控制梯度下降时我们迈出多大的步子，$\alpha$ 越大，我们梯度下降就越迅速。

还有一个细节，梯度下降中，当 $j=0$ 和 $j=1$ 时，我们需要更新$\theta_0$和$\theta_1$ ，因为此时的微分项$\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta_0,\theta_1)$将会改变。实现梯度下降算法的微妙之处是， 在这个表达式中，如果要更新这个等式，我们需要同时更新$\theta_0$和$\theta_1$，我的意思是在这个等式中，我们要像上述方式同步更新，而非下述方式：

直观理解 ​

上述是对导数项$\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta_0,\theta_1)$的直观解释。求导的目的，从几何上看，就是取上述图像上的点的切线，这条直线的斜率正好是这个三角形的高度除以水平长度。当其导数为正时，得到的$\theta$更小，从几何上看代价函数取值会更小；相反，当其导数为负时，得到的$\theta$更大，从几何上看代价函数取值也会更小。

那么学习率$\alpha$取值大小会有什么样的影响？

如果$\alpha$太小了，即学习速率太小，结果就是只能一点点地挪动，去努力接近最低点，这样就需要很多步才能到达最低点。

如果$\alpha$太大，那么梯度下降法可能会越过最低点，甚至可能无法收敛，下一次迭代又移动了一大步，越过一次，又越过一次，一次次越过最低点，直到我们发现实际上离最低点越来越远。所以，如果𝑎太大，它会导致无法收敛，甚至发散。

那么，一个更值得思考的问题是，如果我们一开始就把$\theta$取值放在一个局部的最低点，下一步梯度下降将会发生什么？

假设我们将$\theta$初始化在局部最低点，它已经在一个局部的最优处或局部最低点。 结果是局部最优点的导数将等于零，因为它是那条切线的斜率。这意味着已经在局部最优点，它使得$\theta$不再改变，也就是新的$\theta$等于原来的$\theta$，因此，如果参数已经处于局部最低点，那么梯度下降法更新其实什么都没做，它不会改变参数的值。这也解释了为什么即使学习速率𝑎保持不变时，梯度下降也可以收敛到局部最低点。

举个例子解释一下。

我想找到它的最小值，首先初始化我的梯度下降算法，在那个红点初始化，如果我更新一步梯度下降，也许它会带我到这个点，因为这个点的导数是相当陡的。现在，在这个绿色的点，如果我再更新一步，你会发现我的导数，也即斜率，是没那么陡的。随着我接近最低点，我的导数越来越接近零，所以，梯度下降一步后，新的导数会变小一点点。然后我想再梯度下降一步，在这个绿点，我自然会用一个稍微跟刚才在那个品红点时比，再小一点的一步，到了新的红色点，更接近全局最低点了，因此这点的导数会比在绿点时更小。所以，我再进行一步梯度下降时，我的导数项是更小的，$\theta$更新的幅度就会更小。所以随着梯 度下降法的运行，你移动的幅度会自动变得越来越小，直到最终移动幅度非常小，你会发现，已经收敛到局部极小值。

回顾一下，在梯度下降法中，当我们接近局部最低点时，梯度下降法会自动采取更小的幅度，这是因为当我们接近局部最低点时，很显然在局部最低时导数等于零，所以当我们接 近局部最低时，导数值会自动变得越来越小，所以梯度下降将自动采取较小的幅度，这就是梯度下降的做法。所以实际上没有必要再另外减小$\alpha$。

这就是梯度下降算法，我们可以用它来最小化任何代价函数$J$，不只是线性回归中的代价函数。

Gradient Descent For Linear Regression梯度下降的线性回归 ​

这是梯度下降算法和线性回归算法的比较图：

我们如果想把梯队下降算法应用在线性回归算法当中，即最小化平方差代价函数，关键在于求出代价函数的导数，即：

$\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta_0,\theta_1) = \frac{\partial}{\partial\theta_j} \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2$

化简一下，得到：

$\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta_0,\theta_1) = \frac{\partial}{\partial\theta_j} \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(\theta_0+\theta_1x^{(i)}-y^{(i)})^2$

当$j=0$和$j=1$时的两种特殊情况：

$\begin{aligned} \alpha\frac{\partial}{\partial\theta_0}J(\theta_0,\theta_1) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2 \qquad j=0 \\ \alpha\frac{\partial}{\partial\theta_0}J(\theta_0,\theta_1) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}((h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^2\cdot x^{(i)}) \qquad j=1 \end{aligned}$

然后我们的线性回归算法可以改写成：

之前我们提到，使用梯度下降时，会遇到一个问题——容易陷入局部最优：

但是线性回归的代价函数一般还是这样一个Convex Function凸函数：

注意：国内外对凹凸函数的翻译不同，我们不用去细究，国外以convex的V和concave的CAVE形状象形，而国内以凹和凸象形。

这样的函数没有局部最优解，只有一个全局最优，当计算这种代价函数的梯度下降时，只要是使用线性回归，它总是会收敛到全局最优，而没有其他的局部最优解。

我们刚刚学习的算法有时也被称为Batch Gradient Descent批量梯度下降。Batch指的是梯度下降的每一步我们都用的是所有的训练样本。我们在计算微分求导时，我们需要进行求和运算，而在每一个单独的梯度下降中，我们都需要这个微分项。

批量梯度下降法这个名字说明了我们需要考虑所有这一"批"训练样本，而事实上，有时也有其他类型的梯度下降法，不是这种"批量"型的，不考虑整个的训练集，而是每次只关注训练集中的一些小的子集。

贡献者 ​

凌晨三点的修狗